MAT. Disequazioni di 2° grado

 

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Risolvere una disequazione del tipo $A(x) >$ (oppure $<$) $B(x)$ vuol dire cercare i valori di $x$ per i quali l'ordinata $y = A(x)$ "sta sopra" (oppure "sta sotto") all'ordinata $y=B(x)$.

In particolare allora, la risoluzione di una disequazione di 2° grado ridotta in forma normale, del tipo $Ax^2 + Bx + C \gtrless 0$ si può ricondurre al problema della determinazione dei valori di $x$ per i quali i punti di una parabola hanno ordinata positiva o negativa (o eventualmente nulla se ci fosse anche l'uguale), perché al secondo membro c'è lo $0$ e $y = 0$ è l'equazione dell'asse delle $x$ (ascisse).

Vediamo un esempio: risolviamo la disequazione $\boxed{2x^2-4x-6>0}$.

Cerchiamo i valori delle $x$ per i quali la parabola di equazione $y = 2x^2-4x-6$ "sta sopra" alla curva $y = 0$ che rappresenta l'asse $x$.

Disegniamo la parabola $y = 2x^2-4x-6$, cercando in particolare le sue intersezioni (se esistono) con l'asse $x$, ossia risolviamo l'equazione che si ottiene uguagliando a $0$ l'equazione della parabola:

$2x^2-4x-6 = 0$

$\Delta = (-4)^2-4(2)(-6) = 16+48 = 64$

$\displaystyle x_{1,2} = \frac{4\pm\sqrt{64}}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{4-8}{4} = -\frac{4}{4} = -1$

$\displaystyle x_2 = \frac{4+8}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Quindi la parabola interseca l'asse $x$ nei punti di coordinate $(-1, 0)$ e $(3, 0)$

Inoltre, il vertice della parabola ha coordinate: $\displaystyle x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{4} = 1$, $y_V = 2(1)^2-4(1)-6 = 2-4-6 = -8$

Coloriamo adesso le parti di parabola che si trovano "al di sopra" dell'asse x e deduciamo dal grafico quali sono i valori di x corrispondenti: $x<-1 \vee x>3$

Ancora un esempio: $\boxed{x^2-4x+4<0}$

In questo caso cerchiamo i valori delle $x$ per cui la parabola di equazione $y = x^2-4x+4$ "sta sotto" ( < ) alla retta $y=0$ ossia l'asse $x$.

Cerchiamo le eventuali intersezioni della parabola $y = x^2-4x+4$ con l'asse $x$:

$x^2-4x+4 = 0$

$\Delta = (-4)^2-4(1)(4) = 16-16 = 0$

$\displaystyle x_{1,2} = \frac{4}{2} = 2$

Questa volta cerchiamo le parti di parabola al di sotto dell'asse $x$ e vediamo che non ce ne sono: i punti della parabola si trovano tutti nel semipiano positivo delle ordinate (la parte di piano sopra l'asse $x$). La disequazione non ha allora soluzioni.

In definitiva allora per risolvere le disequazioni di II grado si può:

• operare algebricamente fino ad ottenere un polinomio di secondo grado con coefficiente di $x^2$ positivo (eventualmente si cambiano tutti i segni e il verso) maggiore o minore di $0$;
• cercare gli zeri del polinomio (ossia risolvere l'equazione di secondo grado associato alla disequazione);
• disegnare la parabola, dopo averne trovato il vertice, che avrà sicuramente la concavità rivolta verso l'alto per il fatto che il coefficiente di $x^2$ è positivo;
• cercare sul grafico le "parti di parabola" a cui siamo interessati e quindi i corrispondenti valori di $x$.

Se mettiamo insieme le nozioni acquisite sulla parabola e quelle appena apprese sulle disequazioni di II grado, ci rendiamo conto che non è davvero necessario disegnare la parabola con una certa precisione nel piano cartesiano.

Ricordiamo infatti che per le parabole con concavità verso l'alto ($a>0$)  si possono presentare tre possibilità:

• intersecano l'asse $x$ in due punti distinti ($\Delta > 0$);
• intersecano l'asse $x$ in un unico punto ($\Delta = 0$);
• non intersecano l'asse $x$ in alcun punto ($\Delta < 0$)

come mostrato nell'immagine:

E' chiaro allora che una volta trovato il $\Delta$ della parabola che stiamo studiando ed eventualmente le sue intersezioni con l'asse $x$, basta abbozzare un grafico contenente anche solo l'asse $x$ (in questo contesto la posizione della parabola rispetto all'asse $y$ è irrilevante) e ragionare sulla disequazione richiesta.

Gli esempi che seguono (in aggiornamento) chiariranno ulteriormente:

SCHEMA SULLA PARABOLA

Un buon video che spiega tutto:

Esercizi svolti a cura del prof. F. Daddi: http://www.webalice.it/francesco.daddi/files/esercizi_27_09_06.pdf
http://www.webalice.it/francesco.daddi/files/esercizi_3_10_06_disequaz.pdf

Esercizi svolti attraverso la rappresentazione grafica della parabola associata su matweb.netsons.org: http://www.matweb.netsons.org/file/pdf/matematica/nuovo/Esercizi%20disequazioni%20di%202%20grado_3F.pdf

Esercizi guidati (DA RISOLVERE) dal sito della zanichelli: http://online.scuola.zanichelli.it/bergamini-files/Biennio/Recupero/bergamini_dis2grado_R1_13V_14B.pdf</